Методика
преподавания темы «Тела вращения»
Значение изучения в школе свойств
тел вращения трудно переоценить. Важную роль играет знакомство с ними в связи с
подготовкой школьников к практической жизни, к труду. Учителю следует
подчеркнуть, что форму тел вращения имеют многие детали машин, приборов. При
обработке металла или дерева на токарном станке в промышленности очень быстро и
с высокой степенью точности изготавливают детали, имеющие форму цилиндра,
конуса или шара. Телами вращения являются и изделия гончарного производства;
так, гончар помещает кусок глины на середину вращающегося рабочего стола и,
прижимая к нему деревянный или металлический шаблон, придаёт этому куску глины
нужную форму.
Обычно
теоретический материал раздела о телах вращения по объему бывает невелик.
Однако тут вводится много новых понятий, способы их введения, методы изучения
тоже весьма различны.
При
изучении фигур вращения очень велико значение чертежа. Чертеж является основным
средством иллюстрации, развития пространственного воображения. При этом
необходимо помнить, что чертеж, который появляется на доске постепенно и
сопровождается комментариями учителя, имеет большую педагогическую ценность.
Учитель должен показать учащимся, не вдаваясь в подробности, как изобразить на
плоскости фигуру вращения, то или иное её сечение. Для изображения каждого из
изучаемых в школе тел вращения, их отдельных элементов, сечений необходимо
напомнить учащимся об изображении окружности (учащиеся знакомы с этим из курса
черчения).
В ходе
решения некоторых задач возникает необходимость в решении планиметрической
задачи. На примере нескольких, специально подобранных задач учитель убеждает в
целесообразности изображения в ряде случаев не всей фигуры вращения, а лишь её
осевого сечения. В других случаях планиметрический чертеж будет дополнять
изображение тела вращения.
Задача. В цилиндр вписана правильная
шестиугольная призма. Найти угол между диагональю её боковой грани и осью
цилиндра, если радиус основания равен высоте цилиндра.
Задача
сводится к определению угла α между
пересекающимися прямыми MN и
OO1.
Полезно перейти к рассмотрению осевого сечения AA1D1D.
Правильно выполненный чертеж (АО = OO1) подсказывает,
что а = 45о. в этом
нетрудно убедиться, рассмотрев треугольник ОРМ.
Хорошим подспорьем в работе учителя
служат различные шаблоны, штампы и др. для изображения тел вращения или их
частей – эллипсов, овалов. Они удобны для быстрой подготовки материалов к
самостоятельной работе учащихся.
Учитель
должен хорошо знать, с каким запасом представлений о телах вращения учащиеся
приступают к их изучению. При организации повторения он в необходимом объеме
включает соответствующий материал в урок, заранее планирует формы и методы
повторения.
При
изучении тел вращения закрепляются и развиваются полученные знания об основных
фигурах на плоскости, особенно об окружности, круге, многоугольнике, вписанном
и описанном, их основных свойствах.
Тема
«Тела вращения» усваивается учащимися неплохо. Однако анализ состояния знаний
учащихся показывает, в частности, недостаточно сформированные навыки в решении
стереометрических задач, ошибки и недочеты как в выполнении графической части
задания (неумение выполнить чертеж рассматриваемого тела вращения), так и в
неумении проводить теоретические обоснования отдельных этапов решения, не
всегда корректное использование теоретического материала, неаккуратно
выполненные записи. Отрицательно сказывается на результатах работы отсутствие
прочных вычислительных навыков у учащихся, утрата основных знаний и умений по
курсу планиметрии.
Всё
это требует от учителя постоянного внимания к организации систематического
повторения при изучении цилиндра, конуса и шара (тем более что это одна из
итоговых тем курса геометрии), к организации вычислений в ходе решения задач и
др.
Отдельные
сведения о цилиндре, конусе, шаре, полученные учащимися из повседневной
практики, предшествующего обучения математике, изучения других школьных
дисциплин, синтезируются, оформляются логически, систематизируются.
Включенные
в рассматриваемый раздел вопросы дают возможность учителю показать применение
полученных результатов при решении часто встречающихся практических задач.
Весь
круг вопросов по теме «Тела вращения» можно условно разделить на две группы:
1) Цилиндр
и конус:
a) Определение,
поверхность, симметрия, касательная плоскость, сечение осевое и
перпендикулярное оси, вписанные и описанные многогранники;
b) Объем;
c) Площадь
боковой поверхности.
2) Шар
и сфера:
a) Определение,
симметрия, сечение, касательная плоскость;
b) Объем
шара;
c) Площадь
сферы.
При планировании следует учитывать,
что цилиндр и конус изучаются по единому плану и общий подход при рассмотрении
основных понятий один о тот же. Подчеркивая общее и выявляя различия в
свойствах цилиндра и конуса, учитель добивается осознанного усвоения материала
учащимися.
Обычно цилиндр, конус, шар и сфера
изучаются в курсе стереометрии после многогранников. При этом такие понятия,
как «тело», «поверхность», «ограниченность» и т.п., вводится в теме
«Многогранники». И сама трактовка фигур вращения (тело или поверхность)
согласуется с тем, как понимается многогранник. В пробном учебнике по геометрии
Л.С. Атанасяна и др. [3], например цилиндр – это тело, а многогранник –
поверхность, хотя авторы и отмечают, что «…тело, ограниченное многогранником,
часто называют также многогранником». Последовательность изучаемых тел
вращения: цилиндр, конус, шар – соответствует обычно последовательности:
призма, пирамида, правильные многогранники. Цилиндр (цилиндрическая
поверхность) и призма (поверхность призмы) имеют очень много общих свойств.
Аналогичное замечание можно сделать и относительно понятия пирамиды и конуса.
Во всех школьных учебниках выделяется для изучения поверхность фара – сфера.
Цилиндрическая поверхность рассматривается только в учебнике Л.С. Атанасяна и
др. [3].
Возможны и другие варианты
изложения теории как по организации учебного материала, расстановке акцентов
при рассмотрении понятий, так и по методам изложения отдельных вопросов.
Если сравнить трактовки цилиндра
(конуса) в школьных курсах геометрии, то видно, что:
1) Строгого
определения цилиндра (конуса) в школьных курсах нет, дается лишь его описание;
2) Во
всех учебниках под цилиндром (конусом) понимается геометрическое тело, то есть
ограниченная пространственная область с границей. При этом можно выделить три
основных различных методических подхода к понятию цилиндра (конуса).
В учебном пособии А.В. Погорелова [4]
цилиндр трактуется как тело, образованное заключенными между двумя
параллельными плоскостями отрезками всех параллельных прямых, пересекающих круг
в одной из плоскостей.
В курсе геометрии Л.С. Атанасяна и
др. [3] сначала вводится граница – цилиндрическая поверхность и два круга,
расположенным определенным образом относительно этой поверхности – ограниченной
пространственной области, а уже затем цилиндр как тело, ограниченное
рассмотренной поверхностью.
Каждый из путей имеет свои
преимущества: при наглядности первого второй более «рабочий» в том смысле, что
в дальнейшем широко используется понятие боковой поверхности цилиндра.
Трактовка цилиндра как тела вращения обязательно должна быть рассмотрена при
любом изложении темы. Именно этот путь представляет широкие возможности для
показа связи теории с практикой.
Если цилиндр и конус изучаются по
единой схеме, то шар (сфера) занимает особое место среди тел вращения. Именно
при изучении шара и его поверхности наиболее полно используются знания учащихся
о круге и окружности, полученные из курса планиметрии и других школьных
дисциплин. В связи с этим основная роль учителя состоит в такой организации
учебного процесса, когда ученики сами формулируют необходимые утверждения.
В отличие от понятий цилиндра и конуса понятия
шара и сферы трактуются как пространственные аналоги круга и окружности. Шар
определяется как тело, состоящее из всех точек пространства, находящихся на
расстоянии, не большем данного, от данной точки. Сфера вводится как поверхность
шара.